Bir işlev aralığını nasıl bulabilirim?
İşlev noktalarından oluşturulabilir: formüldeki değişkenin değerini değiştirin ve karşılık gelen noktaları grafiğe koyun. Ancak ekstremum veya kırılma noktasını özlemediğiniz konusunda bir garanti yoktur. Ve süreç uzun ve sıkıcıdır. Bu nedenle tanım alanını, değer aralığını ve fonksiyonun tüm kritik noktalarını bulmak akılcı olur. Bu konuyu daha ayrıntılı olarak konuşalım.
İşlevin kapsamı nedir
Y = f (x) işlevinin değeri aralığı, x'in tüm değerlerini x € X tanımının alanından yineleyerek aldığı işlevin tüm değerlerinin kümesidir. Değer bölgesi, E y = f (x) olarak gösterilir.
Tanımın kapsamı hakkında, işlev tanımının kapsamını bulma makalesinde yazılmıştır. Bu iki alan bazen kafası karışıktır, bu kabul edilemez. Bunun ne olduğunu daha iyi anlamak için özel örnekler düşünün.
Örneğin, fonksiyon y = f (x) = sinx. Netlik için bir sinüzoid çizebilirsiniz. Sonra x'in -∞'dan + ∞'a değişebildiğini, y = f (x) x ∈ -∞ için tanımlandığını; + ∞. Bu durumda, f (x) -1 ile +1 arasında değişir, başka herhangi bir değer almaz. Bu nedenle, x € -∞ fonksiyonunun tanımı alanı; + ∞, değer Ey = -1 aralığı; +1. yani Tanımlama alanı, işlevin bulunduğu x değeridir. Bir dizi değer, işlevin tanımın tüm alanına girdiği değerlerdir.
Başka basit bir örnek düşünün: y = 1 / x. Hiperbol çizmeyi de biliyoruz ve x = 0 için fonksiyonun değeri tanımlanmadığını, yani; Bu noktada mevcut değildir. X = 0 için, işlevin süreksizliği var. Dolayısıyla tanım alanı, Ey = (-∞ <0; 0 <∞) bölgesi olan x € (-∞ <0; 0 <∞) 'dır.
Fonksiyon tanımının alanını biliyorsak fonksiyonun maksimum ve minimum değerini bulmamız gerekir - bu değerler aralığıdır.
Bir işlev aralığını bulmak için: example
- Y = 1 / (x2 - 4) fonksiyonuna sahibiz.
İlk önce ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevini aradık.
- y "= (1 / (x2 - 4))" = -2x / (x2 - 4) ².
Bu ifadeden, x = 0'daki ilk ekstremum noktası aşağıdaki gibidir; Bu noktada türev değişiklik işareti. çünkü işaret + ile - arasında değişir, bu en yüksek değerdir.
X = 0 için işlevin maksimum değeri:
- у = 1 / (х² - 4) = у = 1 / (0² - 4) = -1 / 4.
- y maks = -1/4.
Şimdi, türevin paydası 0 olduğunda ortaya çıkan fonksiyonun süreksizlik noktalarını buluyoruz.
- (х² - 4) ² = 0.
İfadeyi çarpanlara genişletiyoruz:
- (x-2) (x + 2) = 0
Denklemin kökleri: x = 2; -2. Bu nedenle, bunlar işlevin kesintiliğinin noktalarıdır. İşlevin bu noktalarda neye eğilimli olduğunu belirleriz.
- Lim (1 / (x2 - 4)) = lim1 (1 / (x - 2) (x + 2)) = kir (1 / (2 - 2) (2 + 2)) = kir ((1/0)) (-1/4)) = -∞.
- x → - + 2
Süreksizlik noktalarında, fonksiyon eksi sonsuzluğa eğilim gösterir:
- X = + -2 y = 1 / (x² - 4) için → - ∞
1/4 -∞ gelen ve aralığında Bu nedenle, aralığı içinde, x = (-2, 0) y artar X = (0, 2) y 1/4 ∞ azalır. İşlevin kapsamı:
- E y = (-∞; -1/4).
Fonksiyonların değer aralığını belirlemek için genel algoritma
- Kritik noktaları bulmak için fonksiyonun türevini alırız: maksimum, minimum, süreksizlik noktaları.
- Fonksiyonun değerini aşırılık noktalarında buluyoruz.
- Süreksizlik noktalarında fonksiyon sınırlarının değerini buluyoruz.
- Fonksiyonun kapsamını tanımlayın. Grafikte daha kolay.
Ancak zaman yoksa, çevrimiçi olarak işlev tanımının kapsamını da bulabilirsiniz, kolay ve hızlıdır.
